If you’d like to see code rather than words, you should come around at my Git repository. Just to quote from the README file:

This is an implementation of a magnetic pendulum in OpenCL. A spherical pendulum is influenced by magnets. For every point of origin the program finds the magnet the pendulum’s body will be nearest when it comes to rest (friction is taken into account). It will create an image, where every pixel (points in the --plane) is mapped to a color representing each magnet.

The problem is ideally suited for parallel computing as every initial condition can be solved independently from the others. I did a Python version some time ago that utilized Scipy. Although it was quite optimized with C code, it performed very bad. To create a map of 1600×1600 pixels, it took about 2700 minutes! Leveraging the power hidden in GPUs, I wanted to know what speed-up would be reached.

The code works quite good so far. I began coding a CPU version in C that is a lot faster than the original Python version, but even my decent GPU outperforms that by a factor of ten. The map from above can now be done in 284 seconds. That is seconds, not minutes!

Als Projektarbeit für Computational Physics habe ich ein Magnetpendel programmiert. Geschrieben in Python mit wxWidgets und Pyglet, parallelisiert mit IPython.

• Präsentation des Projekts: PDF (Kurzfassung, 1 MB), PDF (Langfassung mit weiteren Fraktalen, 14 MB)
• Dokumentation: hier
• Quelltext

Die Herleitung der Bewegungsgleichungen ist dank zwei Semestern theoretischer Physik und Lagrange II nicht schwer, wird aber auch bei Eric Weisstein’s World Of Physics sehr schön beschrieben. 

Die dort hergeleiteten Gleichungen sind

mit   als Gesamtmasse.

Bleibt noch das Problem sie zu lösen. Analytisch ist das aber ohne Näherung nicht möglich. (Schon das einfache Fadenpendel läßt sich analytisch nur für kleine Winkel exakt lösen!)

Also numerisch.

Angefangen mit Python und dem Rechenpaket SciPy habe ich also ein Einfach- und ein Doppelpendel nebeneinander aufgehängt. (Für die Grafkausgabe OpenGL und Pyglet)

Das gekoppelte Differentialgleichungssystem 2. Ordnung muß man hierbei zur numerischen Lösung in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung umformen, damit die Integrationsroutinen aus SciPy anwendbar sind. Aber das ist zum Glück immer möglich.

Weil es aber langweilig ist, eine fertige Funktion zu nutzen, habe ich auch diese Routinen noch umgesetzt. Genauer gesagt drei verschiedene: das Euler-Verfahren, das klassische Runge-Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite und das Runge-Kutta-Verfahren nach Dormand und Prince mit einer sich anpassenden Schrittweite, wie es in Numerical Recipes beschrieben ist.

Lange Rede, kurzer Sinn. Den Python-Code gibt’s hier: klick. Ausführen mit „python -O simulation.py“.

Zur Ausführung wird, wie gesagt, weiterhin das Modul Pyglet benötigt. In ode.py findet sich die Implementation der ODE-Integrationsroutinen. Um die Pendelparameter zu ändern, liefere ich eine einfaches und schnell zusammengeschustertes Widget-Toolkit mit, das das Unterfenster erzeugt.

Da ich aber auch mal wieder was mit Java machen wollte, habe ich das Doppelpendel noch mit Java, NetBeans und JOGL (OpenGL-Binding für Java) umgesetzt. „umgesetzt“ heißt hierbei, daß ich den Code nahezu 1:1 von meinem ursprünglichen Python-Code übersetzt habe. Die Java-Simulation läuft etwas schneller und dank Java Web Start kann ich hier auch einen Link bieten, um sich das ganze sofort anzuschauen.

Den Quelltext gibt’s natürlich auch.