Möge es doppel-pendeln! 2008-04-02
Die Semesterferien neigen sich dem Ende zu, und nach all der Prüfungszeit wollte ich mal wieder was programmieren. Doch was? Nun, ich glaube ein Physikstudent sollte zumindest einmal in seinem Leben eine Simulation eines Doppelpendels programmieren 
Es ist nicht nur schön anzusehen, sondern auch als wohl einfachstes chaotisches System ein physikalisch interessanter Fall.
Die Herleitung der Bewegungsgleichungen ist dank zwei Semestern theoretischer Physik und Lagrange II nicht schwer, wird aber auch bei Eric Weisstein’s World Of Physics sehr schön beschrieben.
Die dort hergeleiteten Gleichungen sind
mit 
als Gesamtmasse.
Bleibt noch das Problem sie zu lösen. Analytisch ist das aber ohne Näherung nicht möglich. (Schon das einfache Fadenpendel läßt sich analytisch nur für kleine Winkel exakt lösen!)
Also numerisch.
Angefangen mit Python und dem Rechenpaket SciPy habe ich also ein Einfach- und ein Doppelpendel nebeneinander aufgehängt. (Für die Grafkausgabe OpenGL und Pyglet)
Das gekoppelte Differentialgleichungssystem 2. Ordnung muß man hierbei zur numerischen Lösung in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung umformen, damit die Integrationsroutinen aus SciPy anwendbar sind. Aber das ist zum Glück immer möglich.
Weil es aber langweilig ist, eine fertige Funktion zu nutzen, habe ich auch diese Routinen noch umgesetzt. Genauer gesagt drei verschiedene: das Euler-Verfahren, das klassische Runge-Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite und das Runge-Kutta-Verfahren nach Dormand und Prince mit einer sich anpassenden Schrittweite, wie es in Numerical Recipes beschrieben ist.
Lange Rede, kurzer Sinn. Den Python-Code gibt’s hier: klick. Ausführen mit „python -O simulation.py“.
Zur Ausführung wird, wie gesagt, weiterhin das Modul Pyglet benötigt. In ode.py findet sich die Implementation der ODE-Integrationsroutinen. Um die Pendelparameter zu ändern, liefere ich eine einfaches und schnell zusammengeschustertes Widget-Toolkit mit, das das Unterfenster erzeugt.
Da ich aber auch mal wieder was mit Java machen wollte, habe ich das Doppelpendel noch mit Java, NetBeans und JOGL (OpenGL-Binding für Java) umgesetzt. „umgesetzt“ heißt hierbei, daß ich den Code nahezu 1:1 von meinem ursprünglichen Python-Code übersetzt habe. Die Java-Simulation läuft etwas schneller und dank Java Web Start kann ich hier auch einen Link bieten, um sich das ganze sofort anzuschauen.
Den Quelltext gibt’s natürlich auch.
Am 6. Mai 2008 um 23:05 Uhr
Tolle Idee.
Wenn der Pendel in Flash zu haben ist, kann ich auch mal damit mitspielen.
Am 24. Juli 2008 um 17:06 Uhr
Hi, erstmal muss ich sagen ein tolles Programm.
ich bin auch gerade dabei so etwas zu programmieren und wollte dich Fragen
wie und mit welchem Programm du die Differentialgleichungen 2. Ordnung entkoppelt und in ein DGL-System erster Ordnung überführt hast.
mfg
Basti
Am 24. Juli 2008 um 17:35 Uhr
Hallo Basti,
die gängigen numerischen Integationsroutinen schlucken keine DGL-Systeme 2. Ordnung, sondern nur welche 1. Ordnung. Der Schritt, das System von zweiter in erste Ordnung umzuwandeln ist recht trivial. Am Beispiel des einfachen Fadenpendels: phi” = -g/l * sin(phi). Man nennt nun phi’ = phidot (Gleichung 1). Dann ist phidot’ (= phi”) = -g/l * sin(phi). Zwei gekoppelte DGLs ersten Grades, mit denen man den Algorithmus füttern kann.
Entkoppeln braucht man die Gleichungen dafür nicht. Ich bin mir auch nicht sicher, ob das überhaupt ohne Näherung möglich ist …
Viele Grüße,
Tino
Am 20. November 2009 um 18:32 Uhr
Hallo,
wäre es möglich, den numerischen Lösungalgorithmus zu bekommen, damit ich den in VB bzw. VBA übertragen kann.
Gruß
Am 20. November 2009 um 19:36 Uhr
Hallo Wolfgang,
die Python- und Java-Quelltexte sind schon verlinkt. Wie die Lösungsalgorithmen funktionieren steht auch in den verlinkten Wikipedia-Artikeln.
Viele Grüße,
Tino